Les bases du son 2 : les fréquences des notes

Dans le cours précédent sur les bases du son, on a appris qu'on pouvait définir un son par trois principales caractéristiques: sa fréquence, son amplitude et son timbre. Dans ce cours nous allons nous intéresser de plus près aux fréquences, et voir le rapport qu'il y a entre ces fréquences et les notes que l'on joue sur nos instruments préférés, le tout saupoudré d'un peu de mathématique pour faire les calculs nécessaires.

Petit résumé sur les fréquences

Pour commencer un petit rappel des bases. La fréquence est un nombre qui s'exprime en Hertz et qui représente un nombre de vibrations par seconde. 60 Hz = 60 vibrations par seconde.

Plus la fréquence est élevée, plus la note sera aigue. Et inversement, plus la fréquence sera basse, plus la note sera grave. C'est l'essentiel qu'il y a à connaitre sur les fréquences.

Un nombre infini de fréquences

Ce qu'on a pas abordé précédément mais qu'il faut tout de même comprendre, c'est qu'il n'y a pas de "liste" de fréquences qui existent. N'importe quel nombre positif peut être une fréquence. On peut tout à fait avoir une fréquence de 50 Hz, ou une fréquence de 51 Hz, ou même une fréquence de 50,00001 Hz.

Et ça ça nous pose problème en musique. On ne peut pas caser un nombre infini de notes sur un instrument, alors comment faire ? Et bien on est obligé de faire un choix parmi cette infinité de fréquences, établir une liste de fréquences que l'on va jouer et ignorer toutes les autres. Et ça nous donne les notes de musique. Chaque note aura sa propre fréquence, et on se contentera d'utiliser celles-ci pour jouer de la musique.

Des définitions arbitraires

Il faut bien comprendre cependant que ce choix est totalement arbitraire. Ca n'a pas grand chose de naturel. Ce sont des hommes, probablement des vieux barbus en toges, qui ont décidé d'établir une liste de notes et leur fréquences correspondantes.

Du coup, puisque ces définitions de notes sont arbitraires, elles peuvent changer. Elles ont d'ailleurs beaucoup changé dans l'histoire, et certaines cultures utilisent des systèmes de notes différents du notre, et ça peut être amené à changer encore dans le futur.

Nous on va ignorer tout ça dans ce cours et se focaliser uniquement sur notre système moderne et occidental, qui est utilisé quasiment universellement de nos jours, et qui date du milieu du XXième siècle. Mais retenez que si vous vous demandez "pourquoi c'est comme ça et pas autrement ?", la réponse est simplement "parce que c'est comme ça et puis c'est tout".

Rappel des notes

Evidemment les fréquences c'est une chose, mais on doit également parler des notes. Donc un petit rappel du système de notes qu'on utilise s'impose. Si vous avez besoin de plus de détails, n'hésitez pas à aller voir notre cours sur l'harmonie.

Mais pour résumé on a sept notes de base: do ré mi fa sol la si do, ainsi que des altérations (dièses et bémols), et on va calculer les écarts entre les notes par demi-tons. Entre do et do♯, on a un demi-ton. Entre do♯ et ré, un autre demi-ton etc...

Et toutes ces notes forment un cycle. Si on part d'un do, qu'on passe par toutes les notes ré mi fa sol la si, on retombe sur un autre do et ça repart. Un autre ré, un autre mi etc... jusqu'à atteindre encore un autre do, et ce à l'infini.

Un point important à connaitre et retenir, c'est que d'un do au do suivant, on a 12 demi-tons d'écart. Et on parle là d'un écart d”une octave. C'est valable pour toutes les notes, d'un ré au ré à l'octave suivante, on a 12 demi-tons. D'un do♯ au do♯ suivant, même chose, 12 demi-tons.

Le dernier détail crucial: tous les demi-tons sont égaux. C'est notre système actuel, l'octave est découpée en 12 demi-tons, et ils sont tous égaux.

Des notes aux fréquences

Une note de référence

Rentrons maintenant dans le concret et mettons ce système en place. Pour commencer, il va falloir choisir une note de référence.

Dans notre système actuel on va choisir la note la, que l'on définira comme ayant une fréquence de 440 Hz. On va couramment appeler cette note le "la440".

Retenez bien que ce choix est arbitraire, ce n'est pas toujours cette note qui a servi de référence, ni forcément cette fréquence, et ça peut potentiellement changer un jour.

Le calcul de l'octave

En partant de cette note de référence, on va pouvoir faire un premier calcul tout simple: on peut multiplier cette fréquence par 2 pour obtenir la même note à l'octave suivante. Assez simple jusque là.

Donc en partant de notre la440, on va pouvoir calculer que le la suivant aura une fréquence de 880 Hz. Le la à l'octave suivante aura une fréquence de 1760 Hz. Et inversement, le la une octave plus bas que notre la440 aura une fréquence de 220 Hz. 

Le découpage en 12 demi-tons

L'étape suivante c'est de découper l'octave, c'est à dire l'écart entre le la440 et le la880, ou entre le la880 et le la1760, en 12 demi-tons égaux. Mais ça se complique un petit peu. Ceux qui s'y connaissent en maths voient déjà le problème: on a affaire à une échelle logarithmique. Et les logarithmes, c'est le bordel. Mais on ne va pas rentrer dans les détails (parce que j'ai pas envie de faire un cours de maths), donc je vais simplement vous donner la formule à utiliser : 

F_n+1 = F_n x 2^1/12

F_n+1 représente la fréquence de la note que l'on veut calculer, qui est située un demi-ton au-dessus de la note de laquelle on part, dont la fréquence est nommé F_n. On peut donc multiplier la fréquence d'une note par 2^1/12 afin d'obtenir la fréquence de la note située un demi-ton plus haut. 

A noter que 2^1/12 est environ égal à 1,06, mais on évite le plus possible de faire d'arrondis lorsque l'on fait des calculs de fréquences.

Pour faire un exemple, si on part de notre la440, on peut calculer la fréquence de la note située un demi-ton au-dessus (c'est à dire la♯ ou si♭) avec cette formule:

la♯/si♭ = 440 x 2^1/12 ≈ 466,16 Hz

Là on fait un arrondi à la fin parce que le vrai résultat a un nombre infini de décimales, et j'avais pas envie de toutes les écrire (pour les curieux, quelques décimales de plus).

Maintenant qu'on a calculé la fréquence du la♯/si♭, on peut partir de cette fréquence pour calculer la note suivante, qui sera le si. Même principe: 

si = 466,16 x 2^1/12 ≈ 493,88 Hz

Si on fait un point avant de continuer, vous allez peut-être remarquer qu'il y a un problème. Entre le la à 440 Hz et le la♯/si♭ à 466,16 Hz, on a un écart de 26,16 Hz. Mais entre le la♯/si♭ et le si à 493,88 Hz, on a maintenant un écart de 27,72 Hz. Or les demi-tons sont censés être égaux, alors pourquoi est ce qu'ils ne le sont pas ?

Et bien c'est dû au fait qu'on est dans une échelle logarithmique, et dans une échelle logarithmique ces deux demi-tons sont égaux. Ce n'est pas la valeur exacte en nombre de Hertz qui nous dit si ils sont égaux ou non, mais le fait qu'on a utilisé la même formule, ce même facteur de 2^1/12 pour les calculer. C'est pour ça que les calculs de fréquences sont un poil compliqués, on ne peut pas bétement définir un demi-ton comme étant égal à 26 Hz ou autre, il faut systématiquement multiplier par 2^1/12 pour calculer les fréquences de demi-tons en demi-tons.

Mais revenons aux notes. On peut continuer avec le même principe, du si on pourra calculer la note un demi-ton au-dessus, c'est à dire le do, puis ensuite passer au do♯/ré♭ etc... Et on finira par tomber sur le la suivant. Et après avoir fait ce calcul 12 fois en partant du la 440 Hz, on tombera sur un la qui aura une fréquence de 880 Hz. L'octave est donc respectée, et elle est maintenant découpée en 12 demi-tons égaux. En supposant qu'on ait pas de problèmles d'arrondis.

Une fois que c'est fait, le gros du travail est fini. On a calculé les fréquences de toutes les notes entre deux la. On pourrait continuer pour calculer les fréquences des notes dans l'octave suivante, avec notre multiplication par 2^1/12, mais il y a un moyen un peu plus rapide: prendre les notes dont on a déjà calculé les fréquences et les multiplier/diviser par deux pour obtenir ces mêmes notes dans les différentes octaves.

Une fois que c'est fait, on aura alors les fréquences de toutes les notes qu'il est possible de jouer. Bien évidemment vous n'êtes pas obligés de faire tous les calculs vous même, d'autres les ont fait avant vous, mais si vous êtes curieux vous pouvez quand même expérimenter avec ces formules.

Retenez que c'est arbitraire

N'oubliez pas que tous les calculs qu'on a vu dans ce cours sont totalement arbitraires, et n'ont pas toujours été comme ça. A certaines époques les demi-tons n'étaient pas tous égaux, certains étaient plus grand que d'autres. Et à certaines époque on n'utilisait pas le la440 comme référence, mais d'autres fréquences. Peut-être que ce système changera dans le futur, mais pour l'instant tout le monde a l'air d'accord pour l'utiliser tel quel.

Il ne nous reste plus que les harmoniques

Pour conclure ce cours, il faut mentionner les harmoniques. Toutes les fréquences dont nous avons parlé dans ce cours sont en fait ce qu'on appelle des fréquences fondamentales. Le fameux "la440" a une fréquence fondamentale de 440 Hz, et comme son nom l'indique, c'est une fréquence super importante. Mais lorsque vous jouez un la440 sur un instrument de musique, vous n'allez pas jouer qu'une fréquence de 440 Hz. Votre instrument va également produire un paquet d'autres fréquences, qu'on appelle les fréquences harmoniques, qui ont aussi un rôle très important à jouer. Mais ça, ça sera l'objet d'un prochain cours sur les bases du son.